直線 $y = -x + 8$ (①) と 直線 $y = \frac{1}{2}x + 2$ (②) がある。 ①とx軸との交点をA、①と②の交点をB、②とy軸との交点をCとする。線分AB上に点D, 線分BC上に点E、x軸上に点F, Gを、四角形DEFGが正方形となるようにとるとき、点Dの座標を求めよ。

## 問題1

1. 問題の内容

直線 $y = -x + 8$ (①) と 直線 $y = \frac{1}{2}x + 2$ (②) がある。 ①とx軸との交点をA、①と②の交点をB、②とy軸との交点をCとする。線分AB上に点D, 線分BC上に点E、x軸上に点F, Gを、四角形DEFGが正方形となるようにとるとき、点Dの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、点Bの座標を求める。これは、2つの直線の交点なので、連立方程式を解く。

$y = -x + 8$

$y = \frac{1}{2}x + 2$

$-x + 8 = \frac{1}{2}x + 2$

$\frac{3}{2}x = 6$

$x = 4$

$y = -4 + 8 = 4$

よって、点Bの座標は(4, 4)である。

次に、点Aの座標を求める。これは、直線①とx軸の交点なので、$y = 0$を代入する。

$0 = -x + 8$

$x = 8$

よって、点Aの座標は(8, 0)である。

次に、点Cの座標を求める。これは、直線②とy軸の交点なので、$x = 0$を代入する。

$y = \frac{1}{2}(0) + 2 = 2$

よって、点Cの座標は(0, 2)である。

ここで、正方形DEFGの一辺の長さを$t$とおくと、点Dの座標は $(x_D, y_D) = (x_G, y_D) = (x_F + t, y_F + t)$.

また、点Dは直線AB上にあるので、$y_D = -x_D + 8$ を満たす。

同様に、点Eは直線BC上にある。点Eの座標は $(x_E, y_E) = (x_F, y_F + t) = (x_F, y_G + t)$.

また、点Eは直線BC上にあるので、直線BCの式を求め、点Eの座標を代入することで、$t$を求めることができる。

直線BCの式は、傾き $m = \frac{4-2}{4-0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ で、y切片は2なので、$y = \frac{1}{2}x + 2$ である。

したがって、点Eの座標は $(x_F, t)$ であり、$t = \frac{1}{2}x_F + 2$ である。

また、点Dの座標は $(x_F + t, t)$ であり、$t = -(x_F + t) + 8$ である。

上記の二つの式を連立方程式として解く。

$t = \frac{1}{2}x_F + 2$ より $x_F = 2t - 4$

$t = -(x_F + t) + 8$ より $t = -x_F - t + 8$

$2t = -x_F + 8$

$2t = -(2t - 4) + 8$

$2t = -2t + 4 + 8$

$4t = 12$

$t = 3$

したがって、$x_F = 2(3) - 4 = 2$

点Dの座標は $(2 + 3, 3) = (5, 3)$ である。

3. 最終的な答え

点Dの座標は $(5, 3)$