放物線 $y = ax^2$ 上に2点A, Bがある。Aのx座標は2、Bの座標は(4, 8)である。 (1) $a$ の値を求めよ。 (2) y軸上に点Pをとり、AP + BP の長さが最も短くなるようにするとき、Pのy座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2$ 上に2点A, Bがある。Aのx座標は2、Bの座標は(4, 8)である。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) y軸上に点Pをとり、AP + BP の長さが最も短くなるようにするとき、Pのy座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点B(4, 8)が放物線 $y = ax^2$ 上にあるので、この座標を式に代入する。

$8 = a \cdot 4^2$

$8 = 16a$

$a = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

したがって、$a = \frac{1}{2}$

(2) 点Aのx座標は2なので、Aのy座標は $y = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

よって、点Aの座標は (2, 2) である。

AP + BP の長さが最も短くなるようにするため、Aのy軸に関する対称点A'を考える。

A'の座標は (-2, 2) となる。

このとき、AP = A'Pなので、AP + BP = A'P + BPとなる。

A'P + BPが最短となるのは、点Pが線分A'B上にあるときである。

A'(-2, 2), B(4, 8) を通る直線の式を求める。

直線の傾きは $\frac{8-2}{4-(-2)} = \frac{6}{6} = 1$

直線の式は $y = x + b$ の形になる。

点B(4, 8)を通るので、$8 = 4 + b$ より $b = 4$

よって、直線A'Bの式は $y = x + 4$

点Pはy軸上にあるので、x座標は0である。

$y = 0 + 4 = 4$

したがって、点Pのy座標は4である。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) Pのy座標は4