直線 $y = -x + 8$ と直線 $y = \frac{1}{2}x + 2$ がある。直線 $y = -x + 8$ とx軸の交点をA、2直線の交点をB、直線 $y = \frac{1}{2}x + 2$ とy軸の交点をCとする。線分AB上に点D、線分BC上に点E、x軸上に点F, Gをとり、四角形DEFGが正方形となるようにする。このとき、点Dの座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = -x + 8$ と直線 $y = \frac{1}{2}x + 2$ がある。直線 $y = -x + 8$ とx軸の交点をA、2直線の交点をB、直線 $y = \frac{1}{2}x + 2$ とy軸の交点をCとする。線分AB上に点D、線分BC上に点E、x軸上に点F, Gをとり、四角形DEFGが正方形となるようにする。このとき、点Dの座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線①と直線②の交点Bの座標を求める。

$y = -x + 8$と$y = \frac{1}{2}x + 2$を連立させて解く。

$-x + 8 = \frac{1}{2}x + 2$

$\frac{3}{2}x = 6$

$x = 4$

$y = -4 + 8 = 4$

したがって、Bの座標は(4, 4)である。

次に、直線②とy軸の交点Cの座標を求める。

直線②の式は$y = \frac{1}{2}x + 2$である。y軸との交点なので、$x = 0$を代入すると、$y = 2$となる。

したがって、Cの座標は(0, 2)である。

次に、直線ABの式は$y = -x + 8$である。

四角形DEFGは正方形なので、点Dのy座標をsとすると、点Dのx座標は点Gのx座標から正方形の一辺の長さを引いたものになる。また、点Eのy座標もsである。正方形の一辺の長さはsである。

したがって、点Dの座標を$(t, s)$とすると、$s = -t + 8$が成り立つ。

点Eは直線BC上にある。直線BCの式は、$y = \frac{1}{2}x + 2$である。点Eのy座標はsなので、点Eのx座標は、

$s = \frac{1}{2}x + 2$

$\frac{1}{2}x = s - 2$

$x = 2s - 4$

したがって、点Eの座標は$(2s - 4, s)$である。

また、点Dのx座標は点Eのx座標に正方形の一辺の長さを足したものになる。

つまり、$t = 2s - 4 + s$

$t = 3s - 4$

$s = -t + 8$に$t = 3s - 4$を代入する。

$s = -(3s - 4) + 8$

$s = -3s + 4 + 8$

$4s = 12$

$s = 3$

$t = 3s - 4$に$s = 3$を代入すると、

$t = 3(3) - 4 = 9 - 4 = 5$

したがって、点Dの座標は(5, 3)である。

3. 最終的な答え

(5, 3)