円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ 上の点Pと点A(4, 6)との距離について、最大値と最小値を求め、さらに、2点P, A間の距離が最小となるときの点Pの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ 上の点Pと点A(4, 6)との距離について、最大値と最小値を求め、さらに、2点P, A間の距離が最小となるときの点Pの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、円の中心Cの座標と半径を求めます。

円の方程式 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ より、中心Cの座標は(1, 2)で、半径rは$\sqrt{9}=3$です。

次に、点A(4, 6)と円の中心C(1, 2)の距離をdとすると、

$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

となります。

点Aと円上の点Pとの距離の最大値は、点Aと円の中心Cとの距離dに半径rを加えたものです。したがって、最大値は$d + r = 5 + 3 = 8$です。

点Aと円上の点Pとの距離の最小値は、点Aと円の中心Cとの距離dから半径rを引いたものです。したがって、最小値は$d - r = 5 - 3 = 2$です。

次に、点Aと円の距離が最小となる点Pの座標を求めます。

点Pは線分AC上にあり、APの長さは2、CPの長さは3です。

点Pは線分ACを3:2に内分する点です。

点Pの座標を(x, y)とすると、内分点の公式から

$x = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 4}{3+2} = \frac{2 + 12}{5} = \frac{14}{5}$

$y = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 6}{3+2} = \frac{4 + 18}{5} = \frac{22}{5}$

したがって、点Pの座標は$(\frac{14}{5}, \frac{22}{5})$です。

3. 最終的な答え

最大値: 8

最小値: 2

距離が最小となるときの点Pの座標: $(\frac{14}{5}, \frac{22}{5})$