4. (1) 座標平面上の2点 A(-8, 8) と B(4, 2) を頂点とする三角形OABの面積を求めます。 (2) 原点Oを通り、三角形OABの面積を二等分する直線の式を求めます。 5. (1) y が x の 2 乗に比例し、x = 9 のとき y = -27 であるとき、x = -6 のときの y の値を求めます。 (2) 関数 $y = ax^2$ について、x の変域が $-3 \le x \le 2$ のとき、y の変域が $0 \le y \le 9$ であるとき、a の値を求めます。

1. 問題の内容

4.

(1) 座標平面上の2点 A(-8, 8) と B(4, 2) を頂点とする三角形OABの面積を求めます。

(2) 原点Oを通り、三角形OABの面積を二等分する直線の式を求めます。

5.

(1) y が x の 2 乗に比例し、x = 9 のとき y = -27 であるとき、x = -6 のときの y の値を求めます。

(2) 関数 $y = ax^2$ について、x の変域が $-3 \le x \le 2$ のとき、y の変域が $0 \le y \le 9$ であるとき、a の値を求めます。

2. 解き方の手順

4. (1)

三角形OABの面積は、原点O、点A、点Bをそれぞれ通るx軸に平行な直線で囲まれた長方形から、不要な三角形の面積を引くことで求められます。

長方形の頂点は(-8,0), (4,0), (4,8), (-8,8)の4点であり、長方形の面積は、$12 \times 8 = 96$です。

長方形から引く三角形は、三角形AOC、三角形OBD、三角形ABEです。C(-8,0), D(4,0), E(4,8)

三角形AOC = $(8 \times 8) / 2 = 32$

三角形OBD = $(4 \times 2) / 2 = 4$

三角形ABE = $(12 \times 6) / 2 = 36$

三角形OAB = $96 - (32 + 4 + 36) = 96 - 72 = 24$

4. (2)

三角形OABの面積を二等分する直線は、線分ABの中点を通ります。線分ABの中点Mの座標を求めます。

$M = ((-8+4)/2, (8+2)/2) = (-2, 5)$

原点O(0,0)と点M(-2,5)を通る直線の式は、$y = mx$です。

$5 = m \times (-2)$

$m = -5/2$

よって、求める直線の式は、$y = -\frac{5}{2}x$です。

5. (1)

y は x の 2 乗に比例するので、$y = ax^2$ と表せます。

x = 9 のとき y = -27 なので、$-27 = a \times 9^2$

$-27 = 81a$

$a = -27/81 = -1/3$

比例定数がわかったので、$y = -\frac{1}{3}x^2$

x = -6 のとき、$y = -\frac{1}{3} \times (-6)^2 = -\frac{1}{3} \times 36 = -12$

6. (2)

関数 $y = ax^2$ について、x の変域が $-3 \le x \le 2$ のとき、y の変域が $0 \le y \le 9$ である。

x の変域に 0 が含まれるので、y の最小値は 0 になります。

y の最大値が 9 となるのは、$x = -3$ のときか、$x = 2$ のときです。

$x = -3$ のとき、$y = a \times (-3)^2 = 9a$

$x = 2$ のとき、$y = a \times 2^2 = 4a$

y の最大値が 9 なので、$9a = 9$ または $4a = 9$

$9a = 9$ のとき、$a = 1$

$4a = 9$ のとき、$a = \frac{9}{4}$

x の範囲に0を含むので、x=0のときy=0となることから、aが正の値を持つことがわかります。

x = -3のときy=9となるとき、 $a = 1$。 x = 2のときy = 4。これは条件を満たしません。

したがって、$a = 1$

3. 最終的な答え

4. (1) 24

(2) $y = -\frac{5}{2}x$

5. (1) -12

(2) 1