$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\cos \theta = -\frac{1}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\cos \theta = -\frac{1}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角比の相互関係を利用します。$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ ですから、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\sin \theta = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$

ここで、$\cos \theta = -\frac{1}{5}$ を代入します。

$\sin \theta = \pm \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{25}}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{24}{25}}$

$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{24}}{5}$

$\sin \theta = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲では、$\sin \theta \ge 0$ なので、

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を使って $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{-\frac{1}{5}}$

$\tan \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5} \times (-5)$

$\tan \theta = -2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\tan \theta = -2\sqrt{6}$