三角形ABCにおいて、DE // BC、EF:FB = 3:4 のとき、線分BGの長さを $x$ (cm)で表すと、$x$の値を求めなさい。ただし、AD=12cm、GC=24cmとする。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、DE // BC、EF:FB = 3:4 のとき、線分BGの長さを $x$ (cm)で表すと、$x$の値を求めなさい。ただし、AD=12cm、GC=24cmとする。

2. 解き方の手順

まず、DE // BCより、三角形ADEと三角形ABCは相似です。したがって、

$AD/AB = AE/AC = DE/BC$

次に、EF:FB = 3:4なので、FB/EF = 4/3となります。

ここで、三角形EFGと三角形CBGに着目します。

EF // CBなので、三角形EFGと三角形CBGは相似です。したがって、

$EF/CB = EG/CG = FG/BG$

$EF/FB = 3/4$なので、$FB = (4/3)EF$

$BF+EF = BE$

$EF+\frac{4}{3}EF = BE$

$\frac{7}{3}EF = BE$

また、DE // BCなので、三角形ADEと三角形ABCは相似より、

$AE/AC = AD/AB$

$AE/AC = 12/(12+BD)$

また、三角形EFGと三角形CBGは相似なので、

$EF/BC = BG/GC$

$DE // BCよりAD/DB = AE/EC$

$EF // BCよりEC/AE = FB/AF$

$EF:FB=3:4$より、$EF = \frac{3}{7}EB$、$FB = \frac{4}{7}EB$

$BG = x$であり、$GC = 24$なので、

$EF/BC = 3/7$

$EF/BC = BG/GC$より

$EF/BC = x/24$

$3/7 = x/24$

$3*24 = 7x$

$72 = 7x$

$x = 72/7$

3. 最終的な答え

$x = \frac{72}{7}$