整式 $x^4 - 2x^3 - ax^2 - bx - 3$ が $(x+1)^2$ で割り切れるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

整式 $x^4 - 2x^3 - ax^2 - bx - 3$ が $(x+1)^2$ で割り切れるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ で割り切れるということは、与えられた整式を $x^2+2x+1$ で割った余りが0になるということです。

まず、割り算を実行します。

```

x^2 - 4x + (3-a)

x^2+2x+1 | x^4 - 2x^3 - ax^2 - bx - 3

x^4 + 2x^3 + x^2

---------------------

-4x^3 - (a+1)x^2 - bx

-4x^3 - 8x^2 - 4x

---------------------

(7-a)x^2 - (b-4)x - 3

(7-a)x^2 + (14-2a)x + (7-a)

-------------------------

(-b+4-14+2a)x - 3 - (7-a)

(2a-b-10)x + a - 10

```

割り切れるためには、余りが0である必要があります。つまり、

$2a - b - 10 = 0$

$a - 10 = 0$

が成り立つ必要があります。

$a-10=0$ より、 $a = 10$ が得られます。

次に、 $2a-b-10=0$ に $a=10$ を代入すると、

$2(10) - b - 10 = 0$

$20 - b - 10 = 0$

$10 - b = 0$

$b = 10$

となります。

3. 最終的な答え

$a = 10$

$b = 10$