与えられた式 $2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (y - 3)x - (y^2 - 1)$

次に、定数項 $-(y^2 - 1)$ を因数分解します。

$-(y^2 - 1) = -(y-1)(y+1)$

ここで、$2x^2 + (y - 3)x - (y-1)(y+1)$ を因数分解できると仮定すると、

$(2x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形になります。

展開すると、

$2x^2 + (2C + A)xy + ACy^2 + (2D + B)x + (AD + BC)y + BD$

係数を比較すると、

$AC = -1$

$2C + A = 1$

$AD + BC = 0$

$BD = 1$

$2D + B = -3$

$AC = -1$ なので、例えば $A = 1$、$C = -1$ とすると、

$2(-1) + A = 1$ より $A = 3$ となり、矛盾します。

$A = -1$、$C = 1$ とすると、

$2(1) + A = 1$ より $A = -1$ となり、矛盾はありません。

このとき $BD = 1$ なので、$B = 1$、$D = 1$ または $B = -1$、$D = -1$ が考えられます。

$B = 1$、$D = 1$ のとき、$2D + B = 2(1) + 1 = 3$ となり、$2D + B = -3$ に矛盾します。

$B = -1$、$D = -1$ のとき、$2D + B = 2(-1) + (-1) = -3$ となり、成り立ちます。

また、$AD + BC = A(-1) + B(1) = -A + B = -(-1) + (-1) = 1 - 1 = 0$ となり、成り立ちます。

したがって、$A = -1$, $B = -1$, $C = 1$, $D = -1$ であることがわかります。

よって、$2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1 = (2x - y - 1)(x + y - 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + y - 1)(2x - y - 1)$