与えられた式 $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$ を展開し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$ を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 = A$ と置くと、与式は $(A + xy)(A - xy)$ と変形できる。

これは、$A^2 - (xy)^2$ となる。

ここで、$A$ を元の式に戻すと、 $(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$ となる。

$(x^2 + y^2)^2$ を展開すると、$x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ となる。

したがって、与式は $x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2$ となる。

同類項をまとめると、$x^4 + x^2y^2 + y^4$ となる。

$(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2) = ((x^2+y^2)+xy)((x^2+y^2)-xy)$

$= (x^2+y^2)^2 - (xy)^2$

$= (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2$

$= x^4 + x^2y^2 + y^4$

3. 最終的な答え

$x^4 + x^2y^2 + y^4$