問題 (12) は、2次関数 $y = x^2 + 6x + 5a - 2$ の最小値が4であるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題 (12) は、2次関数 $y = x^2 + 6x + 5a - 2$ の最小値が4であるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= x^2 + 6x + 5a - 2 \\

&= (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5a - 2 \\

&= (x + 3)^2 + 5a - 11

\end{align*}

この2次関数は、下に凸な放物線であり、頂点の座標は $(-3, 5a - 11)$ です。

したがって、最小値は $5a - 11$ となります。

問題文より、最小値は4なので、

$5a - 11 = 4$

この方程式を解いて $a$ の値を求めます。

$5a = 15$

$a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3$