与えられた式を簡約化します。 $\frac{3}{x^3 + 1} + \frac{x-2}{x^2 - x + 1}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡約化します。

$\frac{3}{x^3 + 1} + \frac{x-2}{x^2 - x + 1}$

2. 解き方の手順

まず、$x^3 + 1$ を因数分解します。

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{3}{(x+1)(x^2 - x + 1)} + \frac{x-2}{x^2 - x + 1}$

共通の分母を持つように、第2項の分子と分母に $(x+1)$ を掛けます。

$\frac{3}{(x+1)(x^2 - x + 1)} + \frac{(x-2)(x+1)}{(x^2 - x + 1)(x+1)}$

共通の分母を使って加算します。

$\frac{3 + (x-2)(x+1)}{(x+1)(x^2 - x + 1)}$

分子を展開します。

$\frac{3 + (x^2 + x - 2x - 2)}{(x+1)(x^2 - x + 1)}$

分子を簡約化します。

$\frac{3 + x^2 - x - 2}{(x+1)(x^2 - x + 1)}$

$\frac{x^2 - x + 1}{(x+1)(x^2 - x + 1)}$

$x^2 - x + 1$ で分子と分母を約分します。

$\frac{1}{x+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x+1}$