数列 $\{a_n\}$ があり、その一般項は $a_n = 4n + 1$ である。 1) $a_1 a_2 + a_2 a_3 + \dots + a_n a_{n+1}$ を求めよ。 2) $n$ を自然数とするとき、和 $1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、その一般項は $a_n = 4n + 1$ である。

1) $a_1 a_2 + a_2 a_3 + \dots + a_n a_{n+1}$ を求めよ。

2) $n$ を自然数とするとき、和 $1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

1)

求める和を $S_n$ とする。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k a_{k+1} = \sum_{k=1}^{n} (4k+1)(4(k+1)+1) = \sum_{k=1}^{n} (4k+1)(4k+5) = \sum_{k=1}^{n} (16k^2 + 24k + 5)$

$S_n = 16\sum_{k=1}^{n} k^2 + 24\sum_{k=1}^{n} k + 5\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

$S_n = 16 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 24 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 5n$

$= \frac{8}{3}n(n+1)(2n+1) + 12n(n+1) + 5n$

$= \frac{n}{3}[8(n+1)(2n+1) + 36(n+1) + 15]$

$= \frac{n}{3}[8(2n^2+3n+1) + 36n + 36 + 15]$

$= \frac{n}{3}[16n^2+24n+8 + 36n + 51]$

$= \frac{n}{3}[16n^2+60n+59]$

$S_n = \frac{n(16n^2+60n+59)}{3}$

2)

求める和を $T_n$ とする。

$T_n = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^{n-1}$

$2T_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + (n-1) \cdot 2^{n-1} + n \cdot 2^n$

$T_n - 2T_n = 1 \cdot 1 + (2-1) \cdot 2 + (3-2) \cdot 2^2 + \dots + (n-(n-1)) \cdot 2^{n-1} - n \cdot 2^n$

$-T_n = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} - n \cdot 2^n$

$1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1} = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

$-T_n = 2^n - 1 - n \cdot 2^n = (1-n)2^n - 1$

$T_n = (n-1)2^n + 1$

3. 最終的な答え

1) $\frac{n(16n^2+60n+59)}{3}$

2) $(n-1)2^n + 1$