与えられた数列 $\{a_n\} : 1, 3, 6, 10, 15, \dots$ について、以下の問題を解きます。 (1) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\} : 1, 3, 6, 10, 15, \dots$ について、以下の問題を解きます。

(1) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列の階差数列を求めることから考えます。

$a_1 = 1$

$a_2 = 3$

$a_3 = 6$

$a_4 = 10$

$a_5 = 15$

階差数列を $b_n$ とすると、

$b_1 = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$

$b_2 = a_3 - a_2 = 6 - 3 = 3$

$b_3 = a_4 - a_3 = 10 - 6 = 4$

$b_4 = a_5 - a_4 = 15 - 10 = 5$

よって、階差数列 $b_n$ は $b_n = n + 1$ と予想できます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + \frac{(n-1)n}{2} + (n-1)$

$a_n = 1 + \frac{n^2 - n}{2} + n - 1 = \frac{n^2 - n + 2n}{2} = \frac{n^2 + n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$

したがって、一般項は $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$ となります。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k}$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k(k+1)} = 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ なので、

$2 \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 2 \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \right]$

$= 2 \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 2 \left(\frac{n+1-1}{n+1}\right) = 2 \left(\frac{n}{n+1}\right) = \frac{2n}{n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k} = \frac{2n}{n+1}$