三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=7$, $CA=\sqrt{39}$とする。 (1) $\cos \angle ABC$ の値を求め、$\triangle ABC$ の面積を求める。 (2) 直線ACに関して点Bと反対側に点Dを、$AD=CD$, $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ を満たすようにとる。このとき、$AD$ と $BD$ の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=7$, $CA=\sqrt{39}$とする。

(1) $\cos \angle ABC$ の値を求め、$\triangle ABC$ の面積を求める。

(2) 直線ACに関して点Bと反対側に点Dを、$AD=CD$, $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ を満たすようにとる。このとき、$AD$ と $BD$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、

$\cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{5^2 + 7^2 - (\sqrt{39})^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 39}{70} = \frac{35}{70} = \frac{1}{2}$

$\sin^2 \angle ABC + \cos^2 \angle ABC = 1$ より、

$\sin^2 \angle ABC = 1 - \cos^2 \angle ABC = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$\sin \angle ABC = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ABC$ の面積は、

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35\sqrt{3}}{4}$

(2) $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ であり、$AD = CD$ なので、四角形 $ABCD$ は円に内接する。

トレミーの定理より、$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$.

$AD = CD$ より、$AC \cdot BD = AB \cdot AD + BC \cdot AD = AD(AB+BC)$.

$\sqrt{39} \cdot BD = AD (5+7) = 12 AD$

$AD = CD$ より、$\triangle ADC$ は二等辺三角形である。$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ であり、$\angle ABC = 60^\circ$ なので、$\angle ADC = 120^\circ$ である。

余弦定理より、$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC$.

$(\sqrt{39})^2 = AD^2 + AD^2 - 2 \cdot AD \cdot AD \cdot \cos 120^\circ = 2AD^2 - 2AD^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2AD^2 + AD^2 = 3AD^2$.

$39 = 3AD^2$

$AD^2 = 13$

$AD = \sqrt{13}$

$\sqrt{39} \cdot BD = 12 \sqrt{13}$

$BD = \frac{12 \sqrt{13}}{\sqrt{39}} = \frac{12 \sqrt{13}}{\sqrt{3} \sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle ABC = \frac{1}{2}$

$\triangle ABC$ の面積は $\frac{35\sqrt{3}}{4}$

(2) $AD = \sqrt{13}$

$BD = 4\sqrt{3}$