$\sqrt{16-3\sqrt{28}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{16-3\sqrt{28}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを目指します。

まず、$\sqrt{28}$ を簡単にします。

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$

よって、$\sqrt{16-3\sqrt{28}} = \sqrt{16-3(2\sqrt{7})} = \sqrt{16-6\sqrt{7}}$

次に、根号の中身を $(a-b)^2$ の形にすることを考えます。

つまり、$16 - 6\sqrt{7} = a^2 + b^2 - 2ab$ となる $a, b$ を見つけます。

$ab = 3\sqrt{7}$ より、$a = 3$ かつ $b = \sqrt{7}$ とすると、$a^2+b^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 = 9 + 7 = 16$ となり、与えられた式を満たします。

したがって、

$\sqrt{16-6\sqrt{7}} = \sqrt{(3-\sqrt{7})^2}$

$\sqrt{(3-\sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}|$

ここで、$3 = \sqrt{9}$ であり、$\sqrt{9} > \sqrt{7}$ なので、$3 - \sqrt{7} > 0$ です。

よって、$|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$3 - \sqrt{7}$