縦の長さが $h$ m、横の長さが $2h$ mの長方形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。この道の真ん中を通る線の長さを $\ell$ m、この道の面積を $S$ m$^2$ とするとき、$S = a\ell$ となることを証明したい。空欄AとBに当てはまるものの組み合わせを選択する問題です。

1. 問題の内容

縦の長さが $h$ m、横の長さが $2h$ mの長方形の土地の周囲に、幅 $a$ mの道がある。この道の真ん中を通る線の長さを $\ell$ m、この道の面積を $S$ m$^2$ とするとき、$S = a\ell$ となることを証明したい。空欄AとBに当てはまるものの組み合わせを選択する問題です。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。

外側の長方形の縦の長さは $h + 2a$、横の長さは $2h + 2a$ である。

外側の長方形の面積は $(h+2a)(2h+2a) = 2h^2 + 6ah + 4a^2$。

内側の長方形の面積は $h \cdot 2h = 2h^2$。

道の面積 $S$ は、外側の長方形の面積から内側の長方形の面積を引いたものなので、

$S = (2h^2 + 6ah + 4a^2) - 2h^2 = 6ah + 4a^2$。

よって、Aに入るのは $6ah + 4a^2$。

次に、道の真ん中を通る線の長さ $\ell$ を求める。

道の真ん中を通る線は、長方形の部分と、角の丸い部分（半径 $a$ の円）で構成される。

長方形部分は、縦が $h+a$、横が $2h+a$ となるから、長さは $2(h+a) + 2(2h+a) = 2h+2a+4h+2a = 6h+4a$。

よって、Bに入るのは $6h+4a$。

最後に、$a\ell = S$ を確認する。

$\ell = 6h + 4a$ であるから、$a\ell = a(6h+4a) = 6ah + 4a^2$ となる。

これは道の面積 $S = 6ah + 4a^2$ と一致する。

選択肢から、$A = 6ah + 4a^2$ かつ $B = 6h + 4a$ となるものを選ぶ。

3. 最終的な答え

Aに入るのは $6ah + 4a^2$ であり、Bに入るのは $6h + 4a$ である。

問題文に選択肢がないため、選択肢を選ぶことはできません。

A = $6ah + 4a^2$

B = $6h + 4a$