直角三角形ABCにおいて、点PがAからBを通りCまで秒速1cmで移動する。点PがAを出発してから$x$秒後の三角形APCの面積を$y \text{cm}^2$とする。以下の問いに答える。 (1) 点PがAを出発してから3秒後の$y$の値を求める。 (2) 点Pが辺AB上を動くときの$x$と$y$の関係を表すグラフを選択肢から選ぶ。 (3) 点Pが辺BC上を動くときの$x$の変域、CPの長さを$x$の式で表したもの、および$y$を$x$の式で表したものを求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、点PがAからBを通りCまで秒速1cmで移動する。点PがAを出発してから$x$秒後の三角形APCの面積を$y \text{cm}^2$とする。以下の問いに答える。

(1) 点PがAを出発してから3秒後の$y$の値を求める。

(2) 点Pが辺AB上を動くときの$x$と$y$の関係を表すグラフを選択肢から選ぶ。

(3) 点Pが辺BC上を動くときの$x$の変域、CPの長さを$x$の式で表したもの、および$y$を$x$の式で表したものを求める。

2. 解き方の手順

(1) 点PがAを出発してから3秒後の位置はAB上にあり、Aから3cmの位置である。このとき、三角形APCの面積$y$は、底辺をAP、高さをBCと考えると、

$y = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$

(2) 点Pが辺AB上を動くとき、$0 \le x \le 10$である。

このとき、三角形APCの面積$y$は、$y = \frac{1}{2} \times x \times 4 = 2x$

$y$は$x$に比例し、$x$が増加すると$y$も増加する。また、$x=10$のとき$y=20$である。よって、グラフは原点を通る右上がりの直線となる。選択肢の中では④が該当する。

(3) 点Pが辺BC上を動くとき、点PがBに到達するまでに10秒かかる。さらに、BからCまで4cmなので、点PがCに到達するまでには4秒かかる。したがって、$x$の変域は$10 \le x \le 14$となる。

CPの長さを$x$で表す。BCの長さは4cmなので、CPの長さは$4 - (x - 10) = 14 - x$ (cm)となる。

三角形APCの面積$y$は、底辺をCP、高さをABと考えると、

$y = \frac{1}{2} \times (14-x) \times 10 = 5(14-x) = 70 - 5x = -5x + 70$

3. 最終的な答え

(1) 6

(2) ④

(3)

$10 \le x \le 14$

CP = $(14-x)$ cm

$y = -5x + 70$