与えられた式 $\frac{1}{3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}}$ を簡単にしなさい。つまり、分母に平方根が含まれない形に変形しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}}$ を簡単にしなさい。つまり、分母に平方根が含まれない形に変形しなさい。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母の $3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}$ を $(3+\sqrt{3}) + \sqrt{6}$ と見て、$(3+\sqrt{3}) - \sqrt{6}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{1}{(3 + \sqrt{3}) + \sqrt{6}} \times \frac{(3 + \sqrt{3}) - \sqrt{6}}{(3 + \sqrt{3}) - \sqrt{6}}$

$= \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{(3 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{(9 + 6\sqrt{3} + 3) - 6}$

$= \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{12 + 6\sqrt{3} - 6} = \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6 + 6\sqrt{3}}$

$= \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6(1 + \sqrt{3})}$

次に、$1 + \sqrt{3}$ に対して、$1 - \sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6(1 + \sqrt{3})} \times \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

$= \frac{(3 + \sqrt{3} - \sqrt{6})(1 - \sqrt{3})}{6(1 - (\sqrt{3})^2)}$

$= \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6} - 3\sqrt{3} - 3 + \sqrt{18}}{6(1 - 3)}$

$= \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{6} - 3\sqrt{3} - 3 + 3\sqrt{2}}{6(-2)}$

$= \frac{-2\sqrt{3} - \sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{-12}$

$= \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{6} - 3\sqrt{2}}{12}$