次の無限級数の和を求めます。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n \cos n\pi$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n \sin \frac{n\pi}{2}$

1. 問題の内容

次の無限級数の和を求めます。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n \cos n\pi$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n \sin \frac{n\pi}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos n\pi = (-1)^n$ なので、

$$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n \cos n\pi = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n (-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n$$

これは初項 $-\frac{1}{3}$、公比 $-\frac{1}{3}$ の等比数列の和なので、

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n = \frac{-\frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{-\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{4}$$

(2) $\sin \frac{n\pi}{2}$ は $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, \dots$ に対して $1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \dots$ となるので、

\begin{align*} \label{eq:1} \sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n \sin \frac{n\pi}{2} &= (-\frac{1}{3})^1 \sin \frac{\pi}{2} + (-\frac{1}{3})^2 \sin \frac{2\pi}{2} + (-\frac{1}{3})^3 \sin \frac{3\pi}{2} + (-\frac{1}{3})^4 \sin \frac{4\pi}{2} + \dots \\ &= -\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{9} \cdot 0 + (-\frac{1}{27}) \cdot (-1) + \frac{1}{81} \cdot 0 + (-\frac{1}{243}) \cdot 1 + \dots \\ &= -\frac{1}{3} + \frac{1}{27} - \frac{1}{243} + \dots \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{3} (-\frac{1}{9})^n \\ &= -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{1}{9})^n \\ &= -\frac{1}{3} \frac{1}{1 - (-\frac{1}{9})} \\ &= -\frac{1}{3} \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} \\ &= -\frac{1}{3} \frac{1}{\frac{10}{9}} \\ &= -\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{10} = -\frac{3}{10}\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{4}$

(2) $-\frac{3}{10}$