全体集合$U$を10以下の自然数の集合とし、$U$の部分集合$A, B, C$が与えられています。 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$, $C = \{3, 6, 8, 9\}$ 以下の集合を求める問題です。 (1) $A \cap B \cap C$ (2) $A \cup B \cup C$ (3) $(A \cap B) \cup C$ (4) $A \cap (B \cup C)$ (5) $\overline{A} \cap (B \cup \overline{C})$ (6) $(\overline{A \cup B}) \cap \overline{C}$

1. 問題の内容

全体集合$U$を10以下の自然数の集合とし、$U$の部分集合$A, B, C$が与えられています。

$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$, $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$, $C = \{3, 6, 8, 9\}$

以下の集合を求める問題です。

(1) $A \cap B \cap C$

(2) $A \cup B \cup C$

(3) $(A \cap B) \cup C$

(4) $A \cap (B \cup C)$

(5) $\overline{A} \cap (B \cup \overline{C})$

(6) $(\overline{A \cup B}) \cap \overline{C}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B \cap C$ は、集合$A, B, C$すべてに共通する要素の集合です。

$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$

$C = \{3, 6, 8, 9\}$

$A \cap B = \{3, 5\}$

$(A \cap B) \cap C = \{3, 5\} \cap \{3, 6, 8, 9\} = \{3\}$

(2) $A \cup B \cup C$ は、集合$A, B, C$のいずれかに含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$

$C = \{3, 6, 8, 9\}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

$(A \cup B) \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\} \cup \{3, 6, 8, 9\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $(A \cap B) \cup C$ を求めます。

$A \cap B = \{3, 5\}$

$(A \cap B) \cup C = \{3, 5\} \cup \{3, 6, 8, 9\} = \{3, 5, 6, 8, 9\}$

(4) $A \cap (B \cup C)$ を求めます。

$B \cup C = \{2, 3, 4, 5, 6\} \cup \{3, 6, 8, 9\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 9\}$

$A \cap (B \cup C) = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 9\} = \{3, 5, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap (B \cup \overline{C})$ を求めます。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$\overline{A} = U - A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$\overline{C} = U - C = \{1, 2, 4, 5, 7, 10\}$

$B \cup \overline{C} = \{2, 3, 4, 5, 6\} \cup \{1, 2, 4, 5, 7, 10\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10\}$

$\overline{A} \cap (B \cup \overline{C}) = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10\} = \{2, 4, 6, 10\}$

(6) $(\overline{A \cup B}) \cap \overline{C}$ を求めます。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{8, 10\}$

$\overline{C} = U - C = \{1, 2, 4, 5, 7, 10\}$

$(\overline{A \cup B}) \cap \overline{C} = \{8, 10\} \cap \{1, 2, 4, 5, 7, 10\} = \{10\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B \cap C = \{3\}$

(2) $A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $(A \cap B) \cup C = \{3, 5, 6, 8, 9\}$

(4) $A \cap (B \cup C) = \{3, 5, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap (B \cup \overline{C}) = \{2, 4, 6, 10\}$

(6) $(\overline{A \cup B}) \cap \overline{C} = \{10\}$