白玉3個と黒玉4個が入った袋から、2個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数を確率変数 $X$ とします。$X$ の確率分布を求めます。

1. 問題の内容

白玉3個と黒玉4個が入った袋から、2個の玉を同時に取り出すとき、出る黒玉の個数を確率変数 $X$ とします。$X$ の確率分布を求めます。

2. 解き方の手順

まず、取り出し方は全部で何通りあるかを計算します。袋の中には合計7個の玉があるので、2個取り出す組み合わせは $_7C_2$ 通りです。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

確率変数 $X$ は、取り出した黒玉の個数なので、$X$ が取りうる値は0, 1, 2です。それぞれの確率を計算します。

* $X = 0$ (黒玉を0個取り出す): これは2個とも白玉を取り出す場合に相当します。白玉は3個あるので、$_3C_2$ 通りの取り出し方があります。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

したがって、$P(X=0) = \frac{_3C_2}{_7C_2} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$

* $X = 1$ (黒玉を1個取り出す): これは黒玉を1個、白玉を1個取り出す場合に相当します。黒玉は4個、白玉は3個あるので、$_4C_1 \times _3C_1$ 通りの取り出し方があります。

$_4C_1 \times _3C_1 = 4 \times 3 = 12$

したがって、$P(X=1) = \frac{_4C_1 \times _3C_1}{_7C_2} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

* $X = 2$ (黒玉を2個取り出す): これは2個とも黒玉を取り出す場合に相当します。黒玉は4個あるので、$_4C_2$ 通りの取り出し方があります。

$_4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

したがって、$P(X=2) = \frac{_4C_2}{_7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$

確率分布は、それぞれの $X$ の値に対する確率をまとめたものです。

3. 最終的な答え

| X | 0 | 1 | 2 |

| ---- | ------- | ------- | ------- |

| P(X) | 1/7 | 4/7 | 2/7 |