確率変数 $X$ の確率分布が与えられており、$X$ の期待値が $\frac{16}{7}$ であるとき、表中の $p$ と $q$ の値を求めよ。 | $X$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 計 | |-----|-----|-----|-----|-----|-----|----| | $P$ | $p$ | $\frac{2}{7}$ | $q$ | $\frac{1}{5}$ | $q$ | 1 |

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率分布が与えられており、$X$ の期待値が $\frac{16}{7}$ であるとき、表中の $p$ と $q$ の値を求めよ。

| $X$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 計 |

|-----|-----|-----|-----|-----|-----|----|

| $P$ | $p$ | $\frac{2}{7}$ | $q$ | $\frac{1}{5}$ | $q$ | 1 |

2. 解き方の手順

確率の合計は1なので、

$p + \frac{2}{7} + q + \frac{1}{5} + q = 1$

$p + 2q = 1 - \frac{2}{7} - \frac{1}{5}$

$p + 2q = \frac{35 - 10 - 7}{35}$

$p + 2q = \frac{18}{35}$ ...(1)

期待値は

$E[X] = 1 \cdot p + 2 \cdot \frac{2}{7} + 3 \cdot q + 4 \cdot \frac{1}{5} + 5 \cdot q = \frac{16}{7}$

$p + \frac{4}{7} + 3q + \frac{4}{5} + 5q = \frac{16}{7}$

$p + 8q = \frac{16}{7} - \frac{4}{7} - \frac{4}{5}$

$p + 8q = \frac{12}{7} - \frac{4}{5}$

$p + 8q = \frac{60 - 28}{35}$

$p + 8q = \frac{32}{35}$ ...(2)

(2) - (1) より

$6q = \frac{32}{35} - \frac{18}{35}$

$6q = \frac{14}{35}$

$6q = \frac{2}{5}$

$q = \frac{2}{30}$

$q = \frac{1}{15}$

(1) に代入して

$p + 2 \cdot \frac{1}{15} = \frac{18}{35}$

$p = \frac{18}{35} - \frac{2}{15}$

$p = \frac{54 - 14}{105}$

$p = \frac{40}{105}$

$p = \frac{8}{21}$

3. 最終的な答え

$p = \frac{8}{21}$, $q = \frac{1}{15}$

したがって、答えは

3.