3枚のコインを投げたとき、表の出る枚数を確率変数 $X$ とします。$X$ の期待値 $E[X]$ を求める問題です。

1. 問題の内容

3枚のコインを投げたとき、表の出る枚数を確率変数 $X$ とします。$X$ の期待値 $E[X]$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

コインを1枚投げる試行はベルヌーイ試行であり、表が出る確率を $p$ とすると、$p = \frac{1}{2}$ です。3枚のコインを投げる試行は、独立な3回のベルヌーイ試行とみなせます。したがって、$X$ は二項分布 $B(3, \frac{1}{2})$ に従います。

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数の期待値は $np$ で与えられます。この問題では、$n = 3$、$p = \frac{1}{2}$ なので、$X$ の期待値は、

$E[X] = np = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

となります。

あるいは、確率変数 $X_i$ ($i=1,2,3$) を $i$ 番目のコインで表が出たら1、裏が出たら0となる確率変数とします。このとき $X=X_1+X_2+X_3$ と表せます。期待値の線形性より、

$E[X] = E[X_1+X_2+X_3] = E[X_1] + E[X_2] + E[X_3]$

$E[X_i] = 1 \cdot P(X_i=1) + 0 \cdot P(X_i=0) = P(X_i=1) = \frac{1}{2}$

したがって、

$E[X] = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

3/2