確率変数 $X$ の期待値が3、分散が7である。確率変数 $Y$ の期待値が-1、分散が4である。$X$ と $Y$ は互いに独立であるとき、確率変数 $2X + 3Y$ の分散を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値が3、分散が7である。確率変数 $Y$ の期待値が-1、分散が4である。$X$ と $Y$ は互いに独立であるとき、確率変数 $2X + 3Y$ の分散を求める。

2. 解き方の手順

確率変数 $X$ の分散を $V(X)$、確率変数 $Y$ の分散を $V(Y)$ と表す。

確率変数 $aX + bY$ （$a$, $b$ は定数）の分散は、XとYが独立であるとき、以下の式で表される。

$V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y)$

問題文より、$V(X) = 7$、$V(Y) = 4$、$a = 2$、$b = 3$ であるから、

$V(2X + 3Y) = 2^2V(X) + 3^2V(Y) = 4V(X) + 9V(Y)$

$= 4 \times 7 + 9 \times 4 = 28 + 36 = 64$

3. 最終的な答え

64