10本のくじの中に当たりくじが4本入っている。A, Bの順に、引いたくじを元に戻さずに1本ずつ引く。A, Bが引いた当たりくじの本数をそれぞれ$X, Y$とするとき、$X+Y$の期待値$E[X+Y]$を求める。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが4本入っている。A, Bの順に、引いたくじを元に戻さずに1本ずつ引く。A, Bが引いた当たりくじの本数をそれぞれ$X, Y$とするとき、$X+Y$の期待値$E[X+Y]$を求める。

2. 解き方の手順

$X$はAが引いた当たりくじの本数、$Y$はBが引いた当たりくじの本数である。

$X$と$Y$はそれぞれ0か1の値をとる。

期待値の線形性より、$E[X+Y] = E[X] + E[Y]$が成り立つ。

まず、$E[X]$を求める。Aが当たりくじを引く確率は$\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$である。

したがって、$E[X] = 1 \cdot \frac{4}{10} + 0 \cdot \frac{6}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

次に、$E[Y]$を求める。Bが当たりくじを引く確率は、Aが当たりを引いた場合と、Aが外れを引いた場合で場合分けして考える。

Aが当たりを引いた場合、Bが当たりを引く確率は$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$である。このときの確率は$\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90}$

Aが外れを引いた場合、Bが当たりを引く確率は$\frac{4}{9}$である。このときの確率は$\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{90}$

したがって、Bが当たりを引く確率は$\frac{12}{90} + \frac{24}{90} = \frac{36}{90} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

よって、$E[Y] = 1 \cdot \frac{2}{5} + 0 \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

$E[X+Y] = E[X] + E[Y] = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{5}$