硬貨を2回投げて、表が出たら1点、裏が出たら-1点とする。この時の合計点数をXとする。また、サイコロを1回投げて、出た目をYとする。このとき、$X+2Y$ の分散を求めよ。

1. 問題の内容

硬貨を2回投げて、表が出たら1点、裏が出たら-1点とする。この時の合計点数をXとする。また、サイコロを1回投げて、出た目をYとする。このとき、$X+2Y$ の分散を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の取りうる値とその確率を考える。硬貨を2回投げるので、$X$ の取りうる値は-2, 0, 2である。

- X = -2 となるのは、2回とも裏が出た時なので、確率 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

- X = 0 となるのは、表と裏が1回ずつ出た時なので、確率 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 2 = \frac{1}{2}$

- X = 2 となるのは、2回とも表が出た時なので、確率 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

よって、$X$ の期待値 $E[X]$ は、

$E[X] = (-2) \times \frac{1}{4} + 0 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} = 0$

次に、$X$ の分散 $V[X]$ は、

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$E[X^2] = (-2)^2 \times \frac{1}{4} + 0^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times \frac{1}{4} = 4 \times \frac{1}{4} + 0 + 4 \times \frac{1}{4} = 1 + 1 = 2$

$V[X] = 2 - 0^2 = 2$

次に、$Y$ の期待値 $E[Y]$ と分散 $V[Y]$ を考える。$Y$ はサイコロの出た目なので、取りうる値は1, 2, 3, 4, 5, 6で、それぞれの確率は $\frac{1}{6}$。

$E[Y] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

$E[Y^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

$X$ と $Y$ は独立なので、$X+2Y$ の分散は、

$V[X+2Y] = V[X] + V[2Y] = V[X] + 2^2V[Y] = V[X] + 4V[Y] = 2 + 4 \times \frac{35}{12} = 2 + \frac{35}{3} = \frac{6+35}{3} = \frac{41}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{41}{3}$