10本のくじの中に当たりくじが3本含まれている。AとBが順番に1本ずつくじを引き、引いたくじは元に戻さない。Aが引いた当たりくじの本数をX、Bが引いた当たりくじの本数をYとするとき、X+Yの分散を求めよ。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが3本含まれている。AとBが順番に1本ずつくじを引き、引いたくじは元に戻さない。Aが引いた当たりくじの本数をX、Bが引いた当たりくじの本数をYとするとき、X+Yの分散を求めよ。

2. 解き方の手順

XとYはそれぞれベルヌーイ分布に従う確率変数であり、X+Yは超幾何分布に従う。

まず、XとYの期待値と分散を計算する。

次に、XとYの共分散を計算する。

最後に、X+Yの分散を計算する。

(1) Xの期待値と分散

Xはベルヌーイ分布に従い、当たりを引く確率は $p = \frac{3}{10}$ である。

したがって、Xの期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ は次のようになる。

$E[X] = p = \frac{3}{10}$

$V[X] = p(1-p) = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{21}{100}$

(2) Yの期待値と分散

Yもベルヌーイ分布に従い、Bが当たりを引く確率は、Aが当たりを引いたかどうかで変わるが、期待値としては同じ $\frac{3}{10}$ となる。

したがって、Yの期待値 $E[Y]$ は次のようになる。

$E[Y] = \frac{3}{10}$

Yの分散 $V[Y]$ を計算するには、条件付き確率を用いて考える。

$P(Y=1) = P(Y=1|X=0)P(X=0) + P(Y=1|X=1)P(X=1) = \frac{3}{9}\cdot\frac{7}{10} + \frac{2}{9}\cdot\frac{3}{10} = \frac{21+6}{90} = \frac{27}{90} = \frac{3}{10}$

$P(Y=0) = 1-\frac{3}{10} = \frac{7}{10}$

$V[Y] = E[Y^2] - E[Y]^2 = E[Y] - E[Y]^2 = \frac{3}{10} - (\frac{3}{10})^2 = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{21}{100}$

(3) XとYの共分散

XとYの共分散 $Cov(X,Y)$ は次のように計算できる。

$Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$

$E[XY] = P(X=1, Y=1) = P(Y=1|X=1)P(X=1) = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$

$Cov(X,Y) = \frac{1}{15} - \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{1}{15} - \frac{9}{100} = \frac{20 - 27}{300} = -\frac{7}{300}$

(4) X+Yの分散

X+Yの分散 $V[X+Y]$ は次のように計算できる。

$V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov(X,Y)$

$V[X+Y] = \frac{21}{100} + \frac{21}{100} + 2(-\frac{7}{300}) = \frac{42}{100} - \frac{14}{300} = \frac{126 - 14}{300} = \frac{112}{300} = \frac{28}{75}$

3. 最終的な答え

X+Yの分散は $\frac{28}{75}$ である。