原点Oから出発し、座標平面上を動く点Pがある。サイコロを投げて1, 2, 3, 4の目が出たらx軸方向に+1、それ以外が出たらy軸方向に+1移動する。サイコロを6回投げた後のPのx座標をX、y座標をYとするとき、Xの期待値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

原点Oから出発し、座標平面上を動く点Pがある。サイコロを投げて1, 2, 3, 4の目が出たらx軸方向に+1、それ以外が出たらy軸方向に+1移動する。サイコロを6回投げた後のPのx座標をX、y座標をYとするとき、Xの期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

Xは6回の試行における、1, 2, 3, 4の目が出る回数である。

サイコロを1回投げて1, 2, 3, 4の目が出る確率は $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。

したがって、Xは二項分布 $B(6, \frac{2}{3})$ に従う。

二項分布 $B(n, p)$ の期待値は $E(X) = np$、分散は $V(X) = np(1-p)$ である。

よって、

$E(X) = 6 \times \frac{2}{3} = 4$

$V(X) = 6 \times \frac{2}{3} \times (1 - \frac{2}{3}) = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

Xの期待値：4

Xの分散：4/3