袋の中に白玉が6個、赤玉が4個入っている。袋から1個取り出し、色を確認して元に戻す。この操作を5回繰り返すとき、白玉が出る回数を$X$とする。$X$の期待値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉が6個、赤玉が4個入っている。袋から1個取り出し、色を確認して元に戻す。この操作を5回繰り返すとき、白玉が出る回数を$X$とする。$X$の期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布に従う確率変数の期待値と分散を求める問題である。

1回の試行で白玉が出る確率を$p$とする。袋の中には白玉が6個、赤玉が4個入っているので、全部で10個の玉が入っている。したがって、$p = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$である。

この試行を5回繰り返すので、$X$は二項分布$B(5, \frac{3}{5})$に従う。

二項分布$B(n, p)$に従う確率変数の期待値$E(X)$と分散$V(X)$は、それぞれ以下の式で求められる。

$E(X) = np$

$V(X) = np(1-p)$

この問題では、$n=5$、$p=\frac{3}{5}$なので、

$E(X) = 5 \times \frac{3}{5} = 3$

$V(X) = 5 \times \frac{3}{5} \times (1 - \frac{3}{5}) = 5 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

期待値: 3

分散: $\frac{6}{5}$