袋の中に白玉が3個、赤玉が3個入っている。この袋から1個取り出して色を確認し、元に戻すという試行を6回繰り返す。白玉が出る回数を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の期待値と分散を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉が3個、赤玉が3個入っている。この袋から1個取り出して色を確認し、元に戻すという試行を6回繰り返す。白玉が出る回数を確率変数 $X$ とするとき、$X$ の期待値と分散を求める。

2. 解き方の手順

この試行は、各回の試行が独立で、白玉が出る確率が一定であるため、二項分布に従う。

1回の試行で白玉が出る確率は、

$p = \frac{3}{3+3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

試行回数は $n=6$ である。

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ は、それぞれ

$E[X] = np$

$V[X] = np(1-p)$

で与えられる。

したがって、

$E[X] = 6 \times \frac{1}{2} = 3$

$V[X] = 6 \times \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{2}) = 6 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

3. 最終的な答え

期待値：3

分散：1.5