原点Oから出発して数直線上を動く点Pがあります。サイコロを投げて3の倍数が出たら+1移動し、それ以外の目が出たら-2移動します。サイコロを12回投げたとき、Pの座標Xの期待値と分散を求めます。

1. 問題の内容

原点Oから出発して数直線上を動く点Pがあります。サイコロを投げて3の倍数が出たら+1移動し、それ以外の目が出たら-2移動します。サイコロを12回投げたとき、Pの座標Xの期待値と分散を求めます。

2. 解き方の手順

まず、サイコロを1回投げる時の、移動量の期待値を計算します。3の倍数が出る確率は $1/3$ で、このとき+1移動します。3の倍数以外が出る確率は $2/3$ で、このとき-2移動します。したがって、1回の移動量の期待値 $E$ は、

$E = (1/3) \times 1 + (2/3) \times (-2) = 1/3 - 4/3 = -1$

次に、サイコロを12回投げた時の座標Xの期待値を計算します。1回の移動量の期待値が-1なので、12回投げた時の期待値 $E[X]$ は、

$E[X] = 12 \times (-1) = -12$

次に、分散を求めます。まず、1回の移動量の分散 $V$ を計算します。

$V = E[X^2] - (E[X])^2$

$E[X^2] = (1/3) \times (1)^2 + (2/3) \times (-2)^2 = 1/3 + 8/3 = 3$

$V = 3 - (-1)^2 = 3 - 1 = 2$

サイコロを12回投げたときの座標Xの分散は、各試行が独立なので、それぞれの分散の和になります。

$V[X] = 12 \times 2 = 24$

3. 最終的な答え

期待値: -12

分散: 24