与えられた式 $(x-y-3)(x-y+5)+7$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-y-3)(x-y+5)+7$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x-y$ を $A$ と置換することで、式を簡単にする。

$A = x-y$

すると、与えられた式は $(A-3)(A+5)+7$ となる。

次に、この式を展開する。

$(A-3)(A+5) = A^2 + 5A - 3A - 15 = A^2 + 2A - 15$

展開した式に $+7$ を加える。

$A^2 + 2A - 15 + 7 = A^2 + 2A - 8$

ここで、$A$ を $x-y$ に戻す。

$(x-y)^2 + 2(x-y) - 8$

さらに展開する。

$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

$2(x-y) = 2x - 2y$

したがって、

$x^2 - 2xy + y^2 + 2x - 2y - 8$

3. 最終的な答え

$x^2 - 2xy + y^2 + 2x - 2y - 8$