定義域 $0 \leq x \leq 2$ を持つ関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \leq x \leq \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \leq x \leq 2) \end{cases}$ この関数 $y = f(x)$ を $y$ 軸の周りに回転させてできる容器に、毎秒 $\pi$ の割合で水を注ぎます。水を注ぎ始めてから 5 秒後の状態について、 (1) 水面の底面からの高さを求めなさい。 (2) 水面の上昇速度を求めなさい。

1. 問題の内容

定義域 $0 \leq x \leq 2$ を持つ関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \leq x \leq \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \leq x \leq 2) \end{cases}$

この関数 $y = f(x)$ を $y$ 軸の周りに回転させてできる容器に、毎秒 $\pi$ の割合で水を注ぎます。水を注ぎ始めてから 5 秒後の状態について、

(1) 水面の底面からの高さを求めなさい。

(2) 水面の上昇速度を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 水面の高さの計算

5 秒間で注がれる水の体積は $5\pi$ です。

まず、$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ の範囲では $f(x) = 0$ なので、水面は高さ 0 に留まります。

次に、$\frac{1}{2} \leq x \leq 2$ の範囲で水面の高さを $h$ とすると、水面の高さが$h$になる時の$x$を$x_h$とおくと、$h = 2x_h^2 - \frac{1}{2}$。よって$x_h = \sqrt{\frac{2h+1}{4}} = \frac{\sqrt{2h+1}}{2}$

この範囲での回転体の体積 $V$ は、

$V = \int_{-\frac{1}{2}}^{h} \pi x^2 dy = \pi \int_{-\frac{1}{2}}^{h} x^2 dy$ であり、$y = 2x^2 - \frac{1}{2}$ から $x^2 = \frac{y+\frac{1}{2}}{2}$なので、

$V = \pi \int_{-\frac{1}{2}}^{h} \frac{y+\frac{1}{2}}{2} dy = \frac{\pi}{2} \int_{-\frac{1}{2}}^{h} (y+\frac{1}{2}) dy$

$= \frac{\pi}{2} \left[ \frac{y^2}{2} + \frac{1}{2}y \right]_{-\frac{1}{2}}^{h} = \frac{\pi}{2} \left[ (\frac{h^2}{2} + \frac{1}{2}h) - (\frac{1}{8} - \frac{1}{4}) \right] = \frac{\pi}{2} \left( \frac{h^2}{2} + \frac{h}{2} + \frac{1}{8} \right)$

$V = \frac{\pi}{4}(h^2 + h + \frac{1}{4})$

水面の高さ $h$ を求めます。$V = 5\pi$ なので、

$\frac{\pi}{4}(h^2 + h + \frac{1}{4}) = 5\pi$

$h^2 + h + \frac{1}{4} = 20$

$h^2 + h - \frac{79}{4} = 0$

$4h^2 + 4h - 79 = 0$

$h = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4(79)}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{332}}{8} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{83}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{83}}{4}$

$h > 0$ より $h = \frac{-2 + \sqrt{83}}{4} \approx \frac{-2 + 9.11}{4} \approx \frac{7.11}{4} \approx 1.7775$

(2) 水面の上昇速度の計算

$\frac{dV}{dt} = \pi$ です。また、$V = \frac{\pi}{4}(h^2 + h + \frac{1}{4})$ より、$\frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{4}(2h+1)$

$\frac{dh}{dt} = \frac{dV}{dt} / \frac{dV}{dh} = \frac{\pi}{\frac{\pi}{4}(2h+1)} = \frac{4}{2h+1}$

$h = \frac{-2+\sqrt{83}}{4}$ を代入すると、

$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{2(\frac{-2+\sqrt{83}}{4})+1} = \frac{4}{\frac{-2+\sqrt{83}}{2}+1} = \frac{8}{-2+\sqrt{83}+2} = \frac{8}{\sqrt{83}} = \frac{8\sqrt{83}}{83}$

3. 最終的な答え

(1) 水面の底面からの高さ: $\frac{-2 + \sqrt{83}}{4}$

(2) 水面の上昇速度: $\frac{8\sqrt{83}}{83}$