次の2つの積分問題を解きます。 (1) 不定積分 $\int (9x^2 - 17) \, dx$ を求めます。 (2) 定積分 $\int_{-1}^3 (9x^2 - 17) \, dx$ を求めます。

1. 問題の内容

次の2つの積分問題を解きます。

(1) 不定積分 $\int (9x^2 - 17) \, dx$ を求めます。

(2) 定積分 $\int_{-1}^3 (9x^2 - 17) \, dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分 $\int (9x^2 - 17) \, dx$ を計算します。

積分を分解します。

$\int (9x^2 - 17) \, dx = \int 9x^2 \, dx - \int 17 \, dx$

各項を積分します。

$\int 9x^2 \, dx = 9 \int x^2 \, dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = 3x^3 + C_1$

$\int 17 \, dx = 17x + C_2$

したがって、

$\int (9x^2 - 17) \, dx = 3x^3 - 17x + C$ (ただし、$C = C_1 - C_2$ は積分定数)

(2) 定積分 $\int_{-1}^3 (9x^2 - 17) \, dx$ を計算します。

まず、不定積分を求めます（上記(1)の結果を使用）。

$\int (9x^2 - 17) \, dx = 3x^3 - 17x$

次に、定積分の定義に従い、上限と下限の値を代入し、その差を計算します。

$\int_{-1}^3 (9x^2 - 17) \, dx = [3x^3 - 17x]_{-1}^3 = (3(3)^3 - 17(3)) - (3(-1)^3 - 17(-1))$

$= (3(27) - 51) - (3(-1) + 17) = (81 - 51) - (-3 + 17) = 30 - 14 = 16$

3. 最終的な答え

(1) 不定積分: $3x^3 - 17x + C$

(2) 定積分: $16$