次の関数を積分します。 $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}$

1. 問題の内容

次の関数を積分します。

$\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x-1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$

両辺に $(x+1)(x-2)$ をかけると、

$x-1 = A(x-2) + B(x+1)$

$x-1 = (A+B)x + (-2A+B)$

係数比較により、

$A+B = 1$

$-2A+B = -1$

この連立方程式を解きます。

$A+B=1$ より、$B=1-A$

$-2A + (1-A) = -1$

$-3A + 1 = -1$

$-3A = -2$

$A = \frac{2}{3}$

$B = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

したがって、

$\frac{x-1}{(x+1)(x-2)} = \frac{2/3}{x+1} + \frac{1/3}{x-2}$

積分すると、

$\int \frac{x-1}{(x+1)(x-2)} dx = \int \left( \frac{2/3}{x+1} + \frac{1/3}{x-2} \right) dx$

$= \frac{2}{3} \int \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x-2} dx$

$= \frac{2}{3} \ln |x+1| + \frac{1}{3} \ln |x-2| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3} \ln |x+1| + \frac{1}{3} \ln |x-2| + C$

ここで、$C$は積分定数です。