与えられた無限級数の値を求める問題です。問題の式は次のとおりです。 $\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) (\frac{1}{4})^{n-\frac{1}{2}}$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の値を求める問題です。問題の式は次のとおりです。

$\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) (\frac{1}{4})^{n-\frac{1}{2}}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{4}$ の指数部分を整理します。

$(\frac{1}{4})^{n-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{4})^n (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{4})^n (4)^{\frac{1}{2}} = 2 (\frac{1}{4})^n$

したがって、与えられた級数は次のように書き換えられます。

$\sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) (\frac{1}{4})^{n-\frac{1}{2}} = \sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) 2(\frac{1}{4})^n = 2 \sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) (\frac{1}{4})^n$

さらに、級数を分解します。

$2 \sum_{n=1}^{\infty} (2n-1) (\frac{1}{4})^n = 2 \sum_{n=1}^{\infty} 2n (\frac{1}{4})^n - 2 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n = 4 \sum_{n=1}^{\infty} n (\frac{1}{4})^n - 2 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n$

ここで、$\sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x}$ を利用します。この式を $x$ で微分すると、$\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$ となります。両辺に $x$ を掛けると、$\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ となります。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n = \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$

$\sum_{n=1}^{\infty} n (\frac{1}{4})^n = \frac{\frac{1}{4}}{(1-\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{4}}{(\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4}{9}$

これらを代入すると、

$4 \sum_{n=1}^{\infty} n (\frac{1}{4})^n - 2 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n = 4 (\frac{4}{9}) - 2 (\frac{1}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{2}{3} = \frac{16}{9} - \frac{6}{9} = \frac{10}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{9}$