$0 \le x \le 2$ を定義域とする関数 $f(x)$ が次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \le x \le 2) \end{cases}$ 曲線 $y = f(x)$ を $y$ 軸の周りに1回転させてできる曲面の形をした容器があります。この容器に空の状態から毎秒 $\pi$ の割合で水を注いでいきます。水を注ぎ始めてから5秒後の状態について、以下の問いに答えます。 (1) 水面の底面からの高さを求めなさい。 (2) 水面の上昇速度を求めなさい。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2$ を定義域とする関数 $f(x)$ が次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \le x \le 2) \end{cases}$

曲線 $y = f(x)$ を $y$ 軸の周りに1回転させてできる曲面の形をした容器があります。この容器に空の状態から毎秒 $\pi$ の割合で水を注いでいきます。水を注ぎ始めてから5秒後の状態について、以下の問いに答えます。

(1) 水面の底面からの高さを求めなさい。

(2) 水面の上昇速度を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 5秒後に容器に注がれた水の体積は $5\pi$ です。

$0 \le x \le \frac{1}{2}$ では $y=0$ なので、高さが0から$\frac{3}{2}$になるまでの体積を計算します。$y=2x^2 - \frac{1}{2}$ を変形すると $2x^2 = y + \frac{1}{2}$, つまり $x^2 = \frac{1}{2}y + \frac{1}{4}$となります。

体積は $V = \int_{0}^{y} \pi x^2 dy = \pi \int_{0}^{y} (\frac{1}{2}y + \frac{1}{4}) dy$ となります。

$V = \pi [\frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}y]_0^y = \pi(\frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}y)$

$5\pi = \pi(\frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}y)$

$5 = \frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}y$

$20 = y^2 + y$

$y^2 + y - 20 = 0$

$(y+5)(y-4)=0$

$y = -5$ または $y=4$

$y \ge 0$ なので $y=4$

よって底面からの高さは 4 です。

(2) $\frac{dV}{dt} = \pi$ です。

$V = \pi(\frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}y)$ を時間 $t$ で微分します。

$\frac{dV}{dt} = \pi (\frac{1}{2}y + \frac{1}{4}) \frac{dy}{dt}$

$\pi = \pi (\frac{1}{2}y + \frac{1}{4}) \frac{dy}{dt}$

$1 = (\frac{1}{2}y + \frac{1}{4}) \frac{dy}{dt}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{1}{\frac{1}{2}y + \frac{1}{4}} = \frac{4}{2y+1}$

$y=4$ のとき

$\frac{dy}{dt} = \frac{4}{2(4)+1} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

(1) 水面の底面からの高さ: 4

(2) 水面の上昇速度: $\frac{4}{9}$