問題は2つのパートに分かれています。 パート1は、与えられた円錐の展開図として正しいものを選択肢から選ぶ問題と、円錐の表面積を求める問題です。 パート2は、正四角錐の底面の対角線の交点Eとしたとき、AEの長さを求める問題と、正四角錐の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

パート1は、与えられた円錐の展開図として正しいものを選択肢から選ぶ問題と、円錐の表面積を求める問題です。

パート2は、正四角錐の底面の対角線の交点Eとしたとき、AEの長さを求める問題と、正四角錐の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

パート1:

(1) 円錐の展開図について考えます。

底面の円の半径が3cmなので、展開図における扇形の弧の長さは $2 \pi \times 3 = 6 \pi$ cmです。

また、扇形の半径は母線の長さである10cmです。

選択肢の中で、扇形の半径が10cmで、扇形の弧の長さが底面の円周と一致するものは④です。

(2) 円錐の表面積は、底面積と側面積の和で求められます。

底面積は $\pi \times 3^2 = 9 \pi$ cm$^2$です。

側面積は $\pi \times 10 \times 3 = 30 \pi$ cm$^2$です。

したがって、表面積は $9 \pi + 30 \pi = 39 \pi$ cm$^2$です。

パート2:

(1) 正四角錐の底面は正方形なので、対角線ACとBDの交点Eは、ACの中点でもあり、BDの中点でもあります。

また、AEは正方形の半分の対角線の長さです。

正方形の一辺の長さを$a$とすると、$a^2 + a^2 = (6+6)^2$より、$2a^2 = 144$なので、$a^2 = 72$となり、$a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$cmです。

したがって、$AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{72+72} = \frac{1}{2}\sqrt{144} = \frac{1}{2} \times 12= 6\sqrt{2}$cm

(2) 正四角錐の体積は、$\frac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times (\text{高さ})$で求められます。

底面積は $(6\sqrt{2})^2 = 72$ cm$^2$です。

高さは9cmなので、体積は$\frac{1}{3} \times 72 \times 9 = 24 \times 9 = 216$ cm$^3$です。

3. 最終的な答え

パート1:

(1) ケ = 4

(2) コサ = 39

パート2:

(1) シ = 6$\sqrt{2}$

(2) セソ = 216