1から100までの整数について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 2, 3, 7の少なくとも1つで割り切れる数は何個あるか。 (2) 2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数は何個あるか。

1. 問題の内容

1から100までの整数について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 2, 3, 7の少なくとも1つで割り切れる数は何個あるか。

(2) 2では割り切れるが、3でも7でも割り切れない数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1)

* 2で割り切れる数の個数: $\lfloor \frac{100}{2} \rfloor = 50$

* 3で割り切れる数の個数: $\lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33$

* 7で割り切れる数の個数: $\lfloor \frac{100}{7} \rfloor = 14$

* 6で割り切れる数の個数 (2と3で割り切れる数): $\lfloor \frac{100}{6} \rfloor = 16$

* 14で割り切れる数の個数 (2と7で割り切れる数): $\lfloor \frac{100}{14} \rfloor = 7$

* 21で割り切れる数の個数 (3と7で割り切れる数): $\lfloor \frac{100}{21} \rfloor = 4$

* 42で割り切れる数の個数 (2と3と7で割り切れる数): $\lfloor \frac{100}{42} \rfloor = 2$

包除原理より、2, 3, 7の少なくとも1つで割り切れる数は、

$50 + 33 + 14 - 16 - 7 - 4 + 2 = 72$ 個。

(2)

2で割り切れる数の個数は50個。

2で割り切れて、かつ3で割り切れる数 (6で割り切れる数) は16個。

2で割り切れて、かつ7で割り切れる数 (14で割り切れる数) は7個。

2で割り切れて、かつ3でも7でも割り切れる数 (42で割り切れる数) は2個。

2で割り切れるが、3または7で割り切れる数の個数は、

16 + 7 - 2 = 21 個。

したがって、2で割り切れるが、3でも7でも割り切れない数は、

50 - 21 = 29 個。

3. 最終的な答え

(1) 72個

(2) 29個