自然数 $n$ に対して、$5^n - 1$ が $4$ の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明します。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$5^n - 1$ が $4$ の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明します。

2. 解き方の手順

(1) $n = 1$ のとき、$5^1 - 1 = 4$ となり、$4$ の倍数なので成立します。

(2) $n = k$ のとき、$5^k - 1$ が $4$ の倍数であると仮定します。すなわち、$5^k - 1 = 4m$ ($m$ は整数) とおきます。

(3) $n = k+1$ のとき、$5^{k+1} - 1$ が $4$ の倍数であることを示します。

$5^{k+1} - 1 = 5 \cdot 5^k - 1$

$= 5 \cdot (4m + 1) - 1$ (帰納法の仮定より、$5^k = 4m + 1$)

$= 20m + 5 - 1$

$= 20m + 4$

$= 4(5m + 1)$

$5m + 1$ は整数なので、$5^{k+1} - 1$ は $4$ の倍数です。

(4) したがって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ に対して、$5^n - 1$ は $4$ の倍数であることが証明されました。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$5^n - 1$ は $4$ の倍数である。