与えられた以下の5つの命題を証明する問題です。 (1) $\sqrt{2}$ は有理数でないことを示せ。 (2) $0.999999\dots = 1$ であることを示せ。 (3) 無限小数 $a$ が循環小数ならば $a$ は有理数であることを示せ。 (4) 任意の実数 $a$ は有限小数または無限小数で表されることを示せ。 (5) 任意の実数 $\alpha$ はある単調増加な有理数列の極限となることを示せ。

1. 問題の内容

与えられた以下の5つの命題を証明する問題です。

(1) $\sqrt{2}$ は有理数でないことを示せ。

(2) $0.999999\dots = 1$ であることを示せ。

(3) 無限小数 $a$ が循環小数ならば $a$ は有理数であることを示せ。

(4) 任意の実数 $a$ は有限小数または無限小数で表されることを示せ。

(5) 任意の実数 $\alpha$ はある単調増加な有理数列の極限となることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{2}$ は有理数でないことの証明 (背理法)

$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数 $m, n$ を用いて $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ と表せる。

両辺を2乗すると、

$2 = \frac{m^2}{n^2}$

$2n^2 = m^2$

したがって、$m^2$ は偶数である。$m^2$ が偶数であるとき、$m$ も偶数である。

$m = 2k$ ( $k$ は自然数)とおくと、

$2n^2 = (2k)^2 = 4k^2$

$n^2 = 2k^2$

したがって、$n^2$ は偶数である。$n^2$ が偶数であるとき、$n$ も偶数である。

$m$ も $n$ も偶数となり、互いに素であるという仮定に矛盾する。

よって、$\sqrt{2}$ は有理数ではない。

(2) $0.999999\dots = 1$ であることの証明

$x = 0.999999\dots$ とおく。

$10x = 9.999999\dots$

$10x - x = 9.999999\dots - 0.999999\dots = 9$

$9x = 9$

$x = 1$

よって、$0.999999\dots = 1$

(3) 無限小数 $a$ が循環小数ならば $a$ は有理数であることの証明

$a$ が循環小数であるとき、循環部分が繰り返される。

例として、$a = 0.\overline{123}$ を考える。

$1000a = 123.\overline{123}$

$1000a - a = 123.\overline{123} - 0.\overline{123} = 123$

$999a = 123$

$a = \frac{123}{999} = \frac{41}{333}$

一般に、$a = 0.\overline{a_1a_2\dots a_n}$ と表せる場合、

$10^n a = a_1a_2\dots a_n.\overline{a_1a_2\dots a_n}$

$(10^n - 1)a = a_1a_2\dots a_n$

$a = \frac{a_1a_2\dots a_n}{10^n - 1}$ となり、$a$ は有理数である。

(4) 任意の実数 $a$ は有限小数または無限小数で表されることの証明

実数 $a$ を整数部分 $n$ と小数部分 $b$ に分ける。$n$ は整数である。$0 \le b < 1$ である。

$b$ に対して、10進数展開を行うことを考える。

$b_1 = \lfloor 10b \rfloor$

$b_2 = \lfloor 100b - 10b_1 \rfloor$

$b_3 = \lfloor 1000b - 100b_1 - 10b_2 \rfloor$

...

この操作を繰り返すと、$b = 0.b_1b_2b_3...$ となる。

ここで、$b_i$ は0から9までの整数である。

有限回で終了する場合、有限小数となる。

無限に続く場合、無限小数となる。

したがって、任意の実数 $a$ は有限小数または無限小数で表される。

(5) 任意の実数 $\alpha$ はある単調増加な有理数列の極限となることの証明

任意の実数 $\alpha$ を与える。

$a_n = \frac{\lfloor 10^n \alpha \rfloor}{10^n}$ と定義する。

このとき、$a_n$ は有理数である。

また、$a_n = \frac{\lfloor 10^n \alpha \rfloor}{10^n} \le \frac{10^n \alpha}{10^n} = \alpha$ である。

$10 a_n = \frac{\lfloor 10^n \alpha \rfloor}{10^{n-1}}$

$10 a_n \le 10 \alpha$

$10^{n+1} a_{n+1} = \lfloor 10^{n+1} \alpha \rfloor$

$a_{n+1} = \frac{\lfloor 10^{n+1} \alpha \rfloor}{10^{n+1}}$

$\lfloor 10^{n+1} \alpha \rfloor \ge 10 \lfloor 10^n \alpha \rfloor$ であるから、

$a_{n+1} = \frac{\lfloor 10^{n+1} \alpha \rfloor}{10^{n+1}} \ge \frac{10 \lfloor 10^n \alpha \rfloor}{10^{n+1}} = \frac{\lfloor 10^n \alpha \rfloor}{10^n} = a_n$

よって、$a_n$ は単調増加数列である。

さらに、$n \to \infty$ のとき、$a_n \to \alpha$ となる。

したがって、任意の実数 $\alpha$ はある単調増加な有理数列の極限となる。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$ は有理数ではない。

(2) $0.999999\dots = 1$

(3) 無限小数 $a$ が循環小数ならば $a$ は有理数である。

(4) 任意の実数 $a$ は有限小数または無限小数で表される。

(5) 任意の実数 $\alpha$ はある単調増加な有理数列の極限となる。