実数 $a$, $b$ に関する次の2つの命題の真偽を調べ、真であれば証明し、偽であれば反例を挙げます。 (1) $a$, $b$ がともに無理数ならば、$a+b$ は無理数である。 (2) $a$, $b$ がともに無理数ならば、$a+b$, $a-b$ の少なくとも一方は無理数である。

1. 問題の内容

実数 $a$, $b$ に関する次の2つの命題の真偽を調べ、真であれば証明し、偽であれば反例を挙げます。

(1) $a$, $b$ がともに無理数ならば、$a+b$ は無理数である。

(2) $a$, $b$ がともに無理数ならば、$a+b$, $a-b$ の少なくとも一方は無理数である。

2. 解き方の手順

(1) の命題について:

この命題は偽です。反例を挙げます。

$a = \sqrt{2}$ と $b = -\sqrt{2}$ とします。

$a$ も $b$ も無理数ですが、$a+b = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ となり、これは有理数です。したがって、反例が存在するため、この命題は偽です。

(2) の命題について:

この命題は真です。背理法を用いて証明します。

$a+b$ と $a-b$ がともに有理数であると仮定します。

$a+b = p$ ($p$ は有理数)

$a-b = q$ ($q$ は有理数)

この２つの式を足し合わせると、

$2a = p + q$

$a = \frac{p+q}{2}$

$p$ と $q$ が有理数なので、$a$ も有理数となります。

次に、最初の2つの式を引き算すると、

$2b = p - q$

$b = \frac{p-q}{2}$

$p$ と $q$ が有理数なので、$b$ も有理数となります。

これは、$a$, $b$ がともに無理数であるという仮定に矛盾します。

したがって、$a+b$ と $a-b$ の少なくとも一方は無理数です。

3. 最終的な答え

(1) 偽。反例：$a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{2}$

(2) 真。（証明は上記参照）