7進法で表すと3桁になる正の整数がある。この整数を11進法で表すと、やはり3桁になり、数字の順序が逆になる。この整数を10進法で表わせ。

1. 問題の内容

7進法で表すと3桁になる正の整数がある。この整数を11進法で表すと、やはり3桁になり、数字の順序が逆になる。この整数を10進法で表わせ。

2. 解き方の手順

まず、求める整数を7進法で $abc_{(7)}$ と表すと、10進法では $49a + 7b + c$ となる。

ただし、$a, b, c$ は $0$ 以上 $6$ 以下の整数であり、$a \neq 0$ である。

次に、この整数を11進法で表すと $cba_{(11)}$ となるので、10進法では $121c + 11b + a$ となる。

ただし、$a, b, c$ は $0$ 以上 $10$ 以下の整数であり、$c \neq 0$ である。

問題文より、$a, b, c$ は $0$以上$6$以下の整数であり、$a \neq 0, c \neq 0$。

したがって、

$49a + 7b + c = 121c + 11b + a$

これを整理すると、

$48a - 4b - 120c = 0$

$12a - b - 30c = 0$

$b = 12a - 30c$

$0 \le b \le 6$ であるから、$0 \le 12a - 30c \le 6$。

$0 \le 2a - 5c \le 1$

$a$と$c$は1以上6以下の整数なので、

$2a - 5c = 0$ または $2a - 5c = 1$

$2a - 5c = 0$ の場合、$2a = 5c$ となる。$2$と$5$は互いに素なので、$a$は$5$の倍数、$c$は$2$の倍数である。

$a$は1以上6以下の整数なので、$a = 5$。このとき、$c = 2$。

$b = 12a - 30c = 12(5) - 30(2) = 60 - 60 = 0$

$2a - 5c = 1$ の場合、$2a = 5c + 1$ となる。

$c=1$の時、$2a=6$、$a=3$。$b = 12(3) - 30(1) = 36-30=6$

$c=3$の時、$2a=16$、$a=8$。これは$a \le 6$を満たさない。

$c=5$の時、$2a=26$、$a=13$。これは$a \le 6$を満たさない。

したがって、$(a, b, c) = (5, 0, 2)$ または $(a,b,c) = (3,6,1)$。

$(a, b, c) = (5, 0, 2)$ のとき、$49a + 7b + c = 49(5) + 7(0) + 2 = 245 + 0 + 2 = 247$

$(a,b,c) = (3,6,1)$のとき、$49a + 7b + c = 49(3) + 7(6) + 1 = 147 + 42 + 1 = 190$

3. 最終的な答え

247 または 190