(5) 5で割ると3余り、8で割ると1余る自然数で最も小さいものを求める。 (6) 14で割ると3余り、21で割ると12余るような整数が存在しないことを示す。

1. 問題の内容

(5) 5で割ると3余り、8で割ると1余る自然数で最も小さいものを求める。

(6) 14で割ると3余り、21で割ると12余るような整数が存在しないことを示す。

2. 解き方の手順

(5)

求める自然数を $n$ とすると、以下の2つの式が成り立つ。

$n \equiv 3 \pmod{5}$

$n \equiv 1 \pmod{8}$

1つ目の式より、$n = 5k + 3$ （$k$ は整数）と表せる。

これを2つ目の式に代入すると、

$5k + 3 \equiv 1 \pmod{8}$

$5k \equiv -2 \equiv 6 \pmod{8}$

$5k \equiv 6 \pmod{8}$ の両辺に5をかけると、

$25k \equiv 30 \pmod{8}$

$k \equiv 6 \pmod{8}$ （∵ $25 \equiv 1 \pmod{8}$ , $30 \equiv 6 \pmod{8}$）

したがって、$k = 8l + 6$ （$l$ は整数）と表せる。

これを $n = 5k + 3$ に代入すると、

$n = 5(8l + 6) + 3 = 40l + 30 + 3 = 40l + 33$

$l = 0$ のとき、$n = 33$

$l = 1$ のとき、$n = 73$

$l = 2$ のとき、$n = 113$

最小の自然数は、$n=33$ である。

(6)

求める整数を $n$ とすると、以下の2つの式が成り立つ。

$n \equiv 3 \pmod{14}$

$n \equiv 12 \pmod{21}$

1つ目の式より、$n = 14k + 3$ （$k$ は整数）と表せる。

これを2つ目の式に代入すると、

$14k + 3 \equiv 12 \pmod{21}$

$14k \equiv 9 \pmod{21}$

$14k = 21m + 9$ (mは整数) と表せる.

これを変形すると,

$2k = 3m + \frac{9}{7}$

左辺は整数であるため、右辺も整数でなければならない。しかし、$m$ が整数のとき、$3m + \frac{9}{7}$ は整数にならない。これは、$14k \equiv 9 \pmod{21}$ に整数解が存在しないことを意味する。

gcd(14, 21) = 7 であり, 9は7の倍数ではないため, 不定方程式 $14k - 21m = 9$ は整数解を持たない。したがって、$n$ は存在しない。

3. 最終的な答え

(5) 33

(6) 存在しない