数列 $a_n$ が $a_n = 3 \cdot 4^n + 6$ で定義されているとき、$a_n$ が7の倍数となるための $n$ の必要十分条件は、$n$ がある数で割るとある数余るという形になる。この空欄に入る2つの数を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が $a_n = 3 \cdot 4^n + 6$ で定義されているとき、$a_n$ が7の倍数となるための $n$ の必要十分条件は、$n$ がある数で割るとある数余るという形になる。この空欄に入る2つの数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$a_n = 3 \cdot 4^n + 6$ が7の倍数となる条件を考えます。

$a_n$ が7の倍数であるということは、$3 \cdot 4^n + 6 \equiv 0 \pmod{7}$ が成り立つということです。

この合同式を整理すると、

$3 \cdot 4^n \equiv -6 \pmod{7}$

$3 \cdot 4^n \equiv 1 \pmod{7}$

ここで、$3 \cdot 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$ より、3の法7における逆元は5です。両辺に5をかけると、

$5 \cdot 3 \cdot 4^n \equiv 5 \cdot 1 \pmod{7}$

$1 \cdot 4^n \equiv 5 \pmod{7}$

$4^n \equiv 5 \pmod{7}$

$4^1 \equiv 4 \pmod{7}$

$4^2 \equiv 16 \equiv 2 \pmod{7}$

$4^3 \equiv 4 \cdot 2 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$

$4^4 \equiv 4 \pmod{7}$

$4^5 \equiv 2 \pmod{7}$

$4^6 \equiv 1 \pmod{7}$

となり、$4^n \pmod{7}$ は3を周期とする数列です。

$4^n \equiv 5 \pmod{7}$ となるのは、$n \pmod{3}$ が何になるかを考えます。

$4^n \equiv 4^1 \equiv 4 \pmod{7}$

$4^n \equiv 4^2 \equiv 2 \pmod{7}$

$4^n \equiv 4^3 \equiv 1 \pmod{7}$

$4^n \equiv 4^4 \equiv 4 \pmod{7}$

$4^n \equiv 4^5 \equiv 2 \pmod{7}$

$4^n \equiv 4^6 \equiv 1 \pmod{7}$

より、どうやっても5にはならないので、条件を満たすnは存在しないはずです。

もう一度見直してみます。$3 \cdot 4^n + 6 \equiv 0 \pmod{7}$

$3 \cdot 4^n \equiv -6 \equiv 1 \pmod{7}$

両辺に5をかけると

$15 \cdot 4^n \equiv 5 \pmod{7}$

$4^n \equiv 5 \pmod{7}$

$4^n \equiv -2 \pmod{7}$

$4^0 \equiv 1 \pmod{7}$

$4^1 \equiv 4 \pmod{7}$

$4^2 \equiv 16 \equiv 2 \pmod{7}$

$4^3 \equiv 4^2 \cdot 4 \equiv 2 \cdot 4 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$

周期は3です。

$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき $4^n \equiv 1 \pmod{7}$

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき $4^n \equiv 4 \pmod{7}$

$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき $4^n \equiv 2 \pmod{7}$

なので、どれも5にはなりません。

問題文を見直します。 $a_n$ が7の倍数であるための必要十分条件は、$n$ が[1]で割ると[2]余る。

勘違いしていました。問題は $a_n$ が7の倍数になる条件の $n$ を求める問題です。

$n$ が3で割るとある数余る、という形に持っていきたいです。

もし問題が間違っていて、$a_n=3 \cdot 2^n + 6$ なら、$a_n \equiv 0 \pmod{7}$ より、$3 \cdot 2^n \equiv -6 \equiv 1 \pmod{7}$

$5 \cdot 3 \cdot 2^n \equiv 5 \pmod{7}$

$2^n \equiv 5 \pmod{7}$

$2^1 \equiv 2 \pmod{7}$

$2^2 \equiv 4 \pmod{7}$

$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$

周期は3です。

$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき $2^n \equiv 1 \pmod{7}$

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき $2^n \equiv 2 \pmod{7}$

$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき $2^n \equiv 4 \pmod{7}$

なので、$a_n$ は7の倍数になりません。

数列 $a_n - 6 = 3 \cdot 4^n$ が公比4の等比数列であることは正しいです。

$a_n$ が7の倍数となる条件: $3 \cdot 4^n + 6 \equiv 0 \pmod{7}$

$3 \cdot 4^n \equiv -6 \equiv 1 \pmod{7}$

$4^n \equiv 5 \pmod{7}$

n = 0の時 $a_0 = 3 \cdot 4^0 + 6 = 3 + 6 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$

n = 1の時 $a_1 = 3 \cdot 4^1 + 6 = 12 + 6 = 18 \equiv 4 \pmod{7}$

n = 2の時 $a_2 = 3 \cdot 4^2 + 6 = 3 \cdot 16 + 6 = 48 + 6 = 54 \equiv 5 \pmod{7}$

n = 3の時 $a_3 = 3 \cdot 4^3 + 6 = 3 \cdot 64 + 6 = 192 + 6 = 198 \equiv 2 \cdot 14 + 198 - 28 = 170 28\cdot6 144 = 198 - (14*14) = 198- 14 \times 7 \pmod{7} -> 3 \cdot 4^3+6=3\cdot 64+6 \equiv 3 \cdot 1+6 = 3+6 = 9 = 2+7 \equiv 3(16*4)+6= 3 \cdot 2\cdot 4 + 6 \equiv 6 \times18 = 3\cdot 18 +2 -> 3 \pmod{7}$

周期が3なので、$a_n \pmod{7}$ も周期3になります。

$a_n = 3 \cdot 4^n + 6 \pmod{7}$

$4^n \pmod{7}$ が $n=0,1,2$ のとき $1, 4, 2$ になるので、$3 \cdot 4^n \pmod{7}$ は $3, 12=5, 6$ になります。

$a_n = 3 \cdot 4^n + 6$ なので、$n=0,1,2$ で $3+6, 5+6, 6+6 \pmod{7}$ すなわち $9, 11, 12 \pmod{7} = 2, 4, 5$

7の倍数にはならないようです。

ということは、問題文に誤植があると仮定して考えます。もし $3 \cdot 4^n -1$ が7の倍数となるような$n$を探します。

しかし、$a_n$が7の倍数になる$n$はないので、この条件を満たすnは存在しないため、何か根本的に勘違いしているか問題がおかしいです。

もしかしたら、問題は $a_n$ を7で割った余りが0になるような条件ではなく、$a_n$をある数で割った余りが別の数になるという条件なのかもしれません。

数列の周期性に着目すると、$4^n$の周期が3なので、$n$を3で割った余りを考えれば良さそうです。

$n$ が3で割ると0余るとき、$a_n = 3 \cdot 4^n + 6 \equiv 3(1) + 6 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$

$n$ が3で割ると1余るとき、$a_n = 3 \cdot 4^n + 6 \equiv 3(4) + 6 = 18 \equiv 4 \pmod{7}$

$n$ が3で割ると2余るとき、$a_n = 3 \cdot 4^n + 6 \equiv 3(2) + 6 = 12 \equiv 5 \pmod{7}$

いずれにせよ、 $a_n$ が7の倍数になることはありません。問題文に誤りがあると思われます。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるため、解答不能。もし問題文が正しいと仮定すると、$a_n$ が7の倍数となるような $n$ は存在しない。しかし、問題の形式に合わせると、

[1]：3

[2]：0, 1, 2 のいずれでも $a_n$ は7の倍数にならない。

しかし、これは正しい答えではないと思われる。