数列 $a_n$ が $a_n = 3 \cdot 4^n - 6$ で与えられているとき、$a_n$ が7の倍数であるための必要十分条件は、$n$ がある数で割るとある数余るという形で表される。この空欄を埋める問題。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が $a_n = 3 \cdot 4^n - 6$ で与えられているとき、$a_n$ が7の倍数であるための必要十分条件は、$n$ がある数で割るとある数余るという形で表される。この空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

$a_n = 3 \cdot 4^n - 6$ が7の倍数である条件を考える。

$a_n = 3 \cdot 4^n - 6 \equiv 0 \pmod{7}$

$3 \cdot 4^n \equiv 6 \pmod{7}$

両辺を3で割る（3と7は互いに素なので可能）

$4^n \equiv 2 \pmod{7}$

$4^n \pmod{7}$ の値を $n = 1, 2, 3, ...$ で計算してみる。

$4^1 \equiv 4 \pmod{7}$

$4^2 \equiv 16 \equiv 2 \pmod{7}$

$4^3 \equiv 4 \cdot 2 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$

$4^4 \equiv 4 \cdot 1 \equiv 4 \pmod{7}$

$4^5 \equiv 4 \cdot 4 \equiv 16 \equiv 2 \pmod{7}$

$4^6 \equiv 4 \cdot 2 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$

したがって、$4^n \equiv 2 \pmod{7}$ となるのは $n \equiv 2 \pmod{3}$ のときである。

これは $n$ を3で割ると2余ることを意味する。

3. 最終的な答え

1: 3

2: 2