$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$3 - 5\sqrt{2}$ が無理数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$3 - 5\sqrt{2}$ が無理数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

(1) $3 - 5\sqrt{2}$ が有理数であると仮定します。

(2) ある有理数 $r$ が存在して、

$3 - 5\sqrt{2} = r$

と表せるとします。

(3) 上記の式を $\sqrt{2}$ について解きます。

$3 - 5\sqrt{2} = r$

$-5\sqrt{2} = r - 3$

$\sqrt{2} = \frac{3 - r}{5}$

(4) $r$ は有理数なので、$3 - r$ も有理数であり、$\frac{3 - r}{5}$ も有理数です。

これは $\sqrt{2}$ が有理数であることを意味します。

(5) しかし、これは $\sqrt{2}$ が無理数であるという前提と矛盾します。

(6) したがって、$3 - 5\sqrt{2}$ が有理数であるという仮定は誤りです。

(7) よって、$3 - 5\sqrt{2}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$3 - 5\sqrt{2}$ は無理数である。