数列 $a_n = 3 \cdot 4^n - 6$ が与えられている。$a_n$ が7の倍数であるための必要十分条件は、$n$ がある数で割ったときに余りが別の数になるという。その割る数と余りを求める。

1. 問題の内容

数列 $a_n = 3 \cdot 4^n - 6$ が与えられている。$a_n$ が7の倍数であるための必要十分条件は、$n$ がある数で割ったときに余りが別の数になるという。その割る数と余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、$a_n$ を7で割った余りを調べる。

$4^1 \equiv 4 \pmod{7}$

$4^2 \equiv 16 \equiv 2 \pmod{7}$

$4^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$

したがって、$4^n$ は $n$ を3で割った余りが0のとき1, 1のとき4, 2のとき2を7で割った余りとして持つ。

$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$4^n \equiv 1 \pmod{7}$ より、$a_n \equiv 3 \cdot 1 - 6 \equiv -3 \equiv 4 \pmod{7}$

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$4^n \equiv 4 \pmod{7}$ より、$a_n \equiv 3 \cdot 4 - 6 \equiv 12 - 6 \equiv 6 \pmod{7}$

$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$4^n \equiv 2 \pmod{7}$ より、$a_n \equiv 3 \cdot 2 - 6 \equiv 6 - 6 \equiv 0 \pmod{7}$

よって、$a_n$ が7の倍数となるのは、$n \equiv 2 \pmod{3}$ のときである。

3. 最終的な答え

1: 3

2: 2