(1) $n+2$が3の倍数であるとき、$7n+4$を3で割ったときの余りを求める。 (2) $a, b$を整数とし、$a$を5で割ると余りが2、$a^2 - b$を5で割ると余りが3であるとき、$b$を5で割ったときの余りを求める。 (3) 783, 1619, 5343のいずれを割っても余りが23となる自然数のうち、最大のものを求める。

1. 問題の内容

(1) $n+2$が3の倍数であるとき、$7n+4$を3で割ったときの余りを求める。

(2) $a, b$を整数とし、$a$を5で割ると余りが2、$a^2 - b$を5で割ると余りが3であるとき、$b$を5で割ったときの余りを求める。

(3) 783, 1619, 5343のいずれを割っても余りが23となる自然数のうち、最大のものを求める。

2. 解き方の手順

(1) $n+2$が3の倍数であるから、$n+2 = 3k$ (kは整数) と表せる。したがって、$n = 3k - 2$となる。

これを$7n+4$に代入すると、

$7n+4 = 7(3k-2)+4 = 21k - 14 + 4 = 21k - 10 = 3(7k) - 9 - 1 = 3(7k-3) - 1$

$= 3(7k-4) + 2$

よって、$7n+4$を3で割った余りは2である。

(2) $a$を5で割ると余りが2であるから、$a = 5k + 2$ (kは整数) と表せる。

$a^2 = (5k+2)^2 = 25k^2 + 20k + 4$。よって、$a^2$を5で割った余りは4である。

$a^2 - b$を5で割った余りが3であるから、$a^2 - b = 5l + 3$ (lは整数) と表せる。

$b = a^2 - 5l - 3 = 25k^2 + 20k + 4 - 5l - 3 = 25k^2 + 20k - 5l + 1 = 5(5k^2 + 4k - l) + 1$

したがって、$b$を5で割った余りは1である。

(3) 求める自然数を$x$とする。

$783 = ax + 23$、$1619 = bx + 23$、$5343 = cx + 23$ (a, b, cは整数) と表せる。

$ax = 783 - 23 = 760$

$bx = 1619 - 23 = 1596$

$cx = 5343 - 23 = 5320$

$x$は760, 1596, 5320の公約数である。最大の$x$を求めるので、最大公約数を求める。

760 = 2^3 * 5 * 19

1596 = 2^2 * 3 * 7 * 19

5320 = 2^3 * 5 * 7 * 19

最大公約数は、$2^2 * 19 = 4 * 19 = 76$

よって、求める最大の自然数は76である。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1

(3) 76